Binomialverteilung vollständig berechnen

Binomialverteilung einfach erklärt

Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, wie oft ein bestimmtes Ereignis bei einer festen Anzahl gleichartiger Versuche eintritt. Typische Beispiele sind Treffer oder kein Treffer, richtig oder falsch, Erfolg oder Misserfolg. Mit dem Binomialverteilung-Rechner auf dieser Seite kannst du solche Wahrscheinlichkeiten direkt mit den drei Größen n, k und p berechnen.

Dabei steht n für die Anzahl der Versuche, k für die gewünschte Anzahl der Erfolge und p für die Erfolgswahrscheinlichkeit bei einem einzelnen Versuch. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viele Erfolge insgesamt auftreten.

Wann darf man die Binomialverteilung verwenden?

Eine Aufgabe kann mit der Binomialverteilung modelliert werden, wenn im Wesentlichen diese Bedingungen erfüllt sind:

• Es gibt eine feste Anzahl n von Versuchen.
• Jeder Versuch hat genau zwei relevante Ausgänge, zum Beispiel Erfolg oder Misserfolg.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit p bleibt bei jedem Versuch gleich.
• Die einzelnen Versuche werden als unabhängig voneinander betrachtet.

Eine solche Folge gleichartiger Bernoulli-Versuche wird auch Bernoulli-Kette genannt.

Formel der Binomialverteilung

Für die Wahrscheinlichkeit, bei n Versuchen genau k Erfolge zu erhalten, gilt:

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1 − p)^n−k

Der Binomialkoeffizient C(n,k) gibt an, auf wie viele verschiedene Arten die k Erfolge innerhalb der n Versuche auftreten können. Im Rechner musst du diese Formel nicht selbst auswerten: Trage einfach n, k und p ein.

Was ist binompdf?

binompdf bezeichnet die Punktwahrscheinlichkeit. Gesucht wird also die Wahrscheinlichkeit für genau eine bestimmte Anzahl von Erfolgen:

binompdf(n, p, k) = P(X = k)

Beispiel: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 20 Versuchen genau 12 Treffer zu erzielen?“ Das ist eine typische binompdf-Aufgabe.

Was ist binomcdf?

binomcdf wird für kumulierte Wahrscheinlichkeiten verwendet. Dabei werden mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten zusammengezählt. Für „höchstens k Erfolge“ gilt beispielsweise:

binomcdf(n, p, k) = P(X ≤ k)

Für Aufgaben mit Formulierungen wie höchstens, mindestens, mehr als oder zwischen werden häufig kumulierte Wahrscheinlichkeiten benötigt.

Typische Formulierungen in Aufgaben

• genau k: P(X = k)
• höchstens k: P(X ≤ k)
• weniger als k: P(X < k) = P(X ≤ k − 1)
• mindestens k: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
• mehr als k: P(X > k) = 1 − P(X ≤ k)
• zwischen a und b: P(a ≤ X ≤ b)

Beispiel zur Binomialverteilung

Erwartungswert und Standardabweichung

Der Erwartungswert zeigt, wie viele Erfolge langfristig im Durchschnitt zu erwarten sind:

E(X) = n · p

Die Varianz und Standardabweichung lauten:

Var(X) = n · p · (1 − p)    und    σ = √(n · p · (1 − p))

Wie gebe ich p richtig ein?

Die Wahrscheinlichkeit p wird als Dezimalzahl zwischen 0 und 1 eingegeben. 30 % entsprechen also 0,30, 75 % entsprechen 0,75. Achte außerdem darauf, dass k nicht größer als n sein kann.

Binomialverteilung mit dem Online-Rechner berechnen

Der Rechner eignet sich besonders zum schnellen Prüfen von Schulaufgaben, Hausaufgaben und Übungsaufgaben zur Stochastik. Er hilft dir dabei, Punktwahrscheinlichkeiten und kumulierte Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, ohne jede Summe einzeln ausrechnen zu müssen. Entscheidend bleibt, dass du zuerst erkennst, welche Ereignisformulierung vorliegt und welche Werte für n, k und p verwendet werden müssen.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen binompdf und binomcdf?
binompdf berechnet die Wahrscheinlichkeit für genau einen Wert P(X = k). binomcdf addiert mehrere Wahrscheinlichkeiten und wird beispielsweise für P(X ≤ k) verwendet.

Ist jede Aufgabe mit zwei Ausgängen binomialverteilt?
Nein. Zusätzlich müssen unter anderem die Anzahl der Versuche fest sein, die Wahrscheinlichkeit p konstant bleiben und die Versuche als unabhängig gelten.

Was bedeutet B(n; p)?
Die Schreibweise X ~ B(n; p) bedeutet, dass X binomialverteilt ist: n ist die Anzahl der Versuche und p die Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch.