2022-04-06 11:13:19

Binomialverteilung: Definition, Formel und Online-Rechner

Bei einer Binomialverteilung geht um das entweder oder Experiment oder kurz und knapp: “ja oder nein”. Wurde ein Treffer gelandet oder nicht? Was es mit der Binomialverteilung auf sich hat, welche Formel gilt und wie du mit einem Binomialverteilung-Online-Rechner ganz einfach deine Aufgaben berechnen kannst, erfährst du im folgenden Beitrag.

Kleine Eselsbrücke: Die Silbe „Bi“ ist Latein und meint Zwei. Hieran lässt sich schon erkennen, dass es sich bei dem Begriff Binomial um das Begriffspaar “ja oder nein” dreht. Wurde ein Erfolg oder Nicht-Erfolg verbucht? Solchen „entweder oder“-Experimenten mit nur zwei möglichen Resultaten liegt die Binomialverteilung zugrunde.

Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment entsteht durch n-fache Wiederholung von einem Bernoulli Experiment

Diese Experimente sind auch bekannt als Bernoulli-Experimente (externer Link). Ein klassisches Beispiel für ein solches Experiment ist ein Münzwurf, bei dem lediglich die Möglichkeit besteht, Kopf oder Zahl zu würfeln. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung können mit Bernoulli-Experimenten beschrieben und beispielsweise bestimmt werden, wie wahrscheinlich es ist, dass bei n-Würfen k-Treffer gelandet werden.

Welche Formel für die Binomialverteilung gilt

Die Dichte lässt sich mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben:

Wenn X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist $X \sim B(n,p)$ , dann wird

$f(k) = P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k$

als die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung definiert.

Der Parameter n steht dabei für die Anzahl der Ziehungen, p für die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bzw. Treffers und k für die Anzahl der Erfolge. Als alternative Schreibweise kann auch folgende verwendet werden:

$B_n_,_p (k) =\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k$

Der Parameter k repräsentiert wie bereits erwähnt die Anzahl der Erfolge bzw. Treffer (je nach Kontext). Der Ausdruck $\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$ steht für den Binomialkoeffizienten. Dieser wird auch in der Kombinatorik verwendet. Dieser lässt sich mit folgender Formel berechnen:

$\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

Wie der Binomialverteilung-Online-Rechner funktioniert

Glücklicherweise müssen nicht alle Aufgaben zum Thema Binomialverteilung selber gerechnet werden. Mit dem kostenfreien Online-Rechner zur Binomialverteilung (Binomial-Rechner) bzw. Binomcdf-Rechner können diese Aufgaben ganz einfach berechnet werden lassen.

Der Binomialverteilung-Online-Rechner zeigt die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit einer Verteilung an, die der Bernoulli-Kette entspricht.

Folgende Optionen können beispielsweise zutreffen:

ja oder nein
falsch oder richtig
gesund oder krank

Wenn solche Formen in Mathe-Aufgaben auftreten, kommt die Binomialverteilung zum Einsatz. Mit unserem speziell programmierter Binomialverteilung-Online-Rechner ist dies einfach. Hierfür müssen die unter dem Rechner stehenden Felder ausgefüllt werden. Dabei ist n ist die gesamte zu beobachtende Zahl, k ist die ausgesuchte Menge und p ist die zu erwartende Wahrscheinlichkeit (Erwartungswert) bei der Aufgabenbedingung, die der Ausgesuchten zugewiesen ist.

Der Binomialverteilung-Online-Rechner ermittelt anschließend die Wahrscheinlichkeit. Beim Lösen deiner Aufgabe wird zudem die Binomcdf direkt angezeigt. Diese entspricht der Summe aller Wahrscheinlichkeitbeträgen ab x=0 bis x=k. Also binomcdf: F(n,p,k)= P(x<=k). Das obige Ergebnis entspricht der Punktwahrscheinlichkeit x=k. Also binompdf: B(n,p,k) = P(x=k) In dem Binomial Rechner gibt es sowohl einen Binomcdf-Rechner als auch einen Binompdf-Rechner.