Mathematik für Studierende: Numerische Lösungsverfahren helfen beim Lösen von Differenzialgleichungen

Viele Differenzialgleichungen – dazu gehören auch solche 1. Ordnung – lassen sich nicht oder nur sehr aufwendig lösen. Deshalb ist es wichtig, neben exakten auch über numerische Lösungsverfahren (NLV) zu verfügen, die Näherungslösungen für Anfangswertprobleme liefern. Da sich numerische Lösungsverfahren mithilfe von Computern lösen lassen, werden Differenzialgleichungen für einen immer breiteren Interessentenkreis zugänglich. Das Thema Numerischen Lösungsverfahren gehört dabei zu einem speziellen Gebiet der Mathematik. Behandelt wird dieser Bereich meist im Mathematik-Studium oder in den Ingenieursstudiengängen. Keine leichte Kost also. Wir geben euch im folgenden Artikel einen kurzen Überblick über das Thema.

Numerische Lösungsverfahren anhand eines Bremsbeispiels

Durch NLV werden komplexe Matheaufgaben durch mehrmalige Proben mit unterschiedlcihen Zahlen nährungsweise und fast genau berechnet. Zum Beispiel lässt sich die Temperatur eines Bremsbelags nach einer bestimmten Zeit (während des Bremsvorganges) durch eine exponentielle Gleichung berechnen. Es wird gesucht, nach wievielen Sekunden die Belagstemperatur von 20 Grad auf 200 Grad ansteigt. 

Die Formel sieht wie folgt aus:

Da die Gleichung exponentiell ist und die Zeit (t) im Exponent der Gleichung steht, ist es häufig schwierig, die Gleichung nach (t) aufzulösen, um das Ergebnis auszurechnen. Zudem benötigt man zum Skizzieren des Temperaturverlaufs einige Stellen des Verlaufs. Daher muss hier eine numersiche Ermittlung durchgeführt werden. Z. B. von t=0 bis zu einer unbestimmten Zeit (steigend) mit einer kleinen Schrittweite (zum Erzielen genauerer Ergebnisse) werden t-Werte (Variable) in die Gleichung eingesetzt. Sobald das Ergebnis der Gleichung (∆θ) die 180 Grad (200-20) erreicht hat, wird der Suchvorgang gestoppt und der letzte t-Wert als das Ergebnis erkannt. Mithilfe aller Zeit-Temperatur-Punkte ist ein Diagramm des Temperaturverlaufs (abhängig von der Zeit) zu skizzieren. 

Wenn die Schrittweite sehr gering ist, ist die Berechnung jeder Variation (Einsetzen in die Gleichung) sehr zeitaufwendig und kompliziert. Diese Aufgabe kann ein rechner übernehnen, welcher das Ergebnis schnell liefert. Um leistungsfähige Rechner zu entwickeln, ist die Aufgabe eines Programmierers, einen guten Programm-Code zu porgrammieren. Dieser Code sollte optimiert und möglichst kurz sein. Somit werden nahezu präzise Ergebnisse schnell vom Computer geliefert. 

Professionelle Mathe-Hilfe einholen beim Thema Numerische Lösungsverfahren 

Das Thema Numerische Lösungsverfahren ist sehr komplex. Nicht wenige Studierende scheitern an den hohen Mathe-Anforderungen im Studium. Wichtig ist es für Studierende dann, sich professionelle Hilfe beim Lösen von Aufgaben zu suchen, um auf Nummer sicher zu gehen. Wir von Mathelöser unterstzützen euch und helfen dabei, Matheaufgaben nicht nur sauber zu lösen, sondern auch dabei das Thema zu verstehen. Sende uns deine Matheaufgaben entweder per Mail an info@matheloeser.com oder nutze unseren praktischen Service Aufgabe hochladen. Wir setzen uns dann in Kürze mit dir in Verbindung.