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Wie Carl Friedrich Gauß die Mathematik revolutionierte
Für die einen ist die Mathematik ein Buch mit sieben Siegeln. Für die anderen gibt es nichts Logischeres und Spannenderes. Wie mit jeder Wissenschaft ist es auch mit der Mathematik. Auch sie hat ihre Legenden. Eine solche Legende erzählt die Geschichte des jungen Carl Friedrich Gauß, der in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts lebte und noch heute als sogenannter "Fürst der Mathematiker" gerühmt wird. Wie der junge Gauß die Mathematik revolutionierte, erfahrt ihr im folgenden Artikel.
Aus Langeweile entstand eine der großen Weltformeln der Mathematik
Gauß langweilte sich wie viele Schüler während seiner Schulstunden. Aber nicht, weil ihn Mathematik nicht interessierte, sondern, weil die Matheaufgaben im Unterricht viel zu leicht für ihn waren. So dachte sich sein Mathematiklehrer eine Aufgabe aus. Er sollte die Zahlen von 1 bis 100 addieren. So wollte er den Neunjährigen ruhigstellen. Gauß zeigte daraufhin, was in der Mathematik steckte. Er zählte nicht bloß, wie es ihm gesagt wurde, sondern er rechnete.
Gauß löste die Aufgabe in kürzester Zeit. Nach kurzem Überlegen schrieb er als Lösung die Zahl 5050 auf die Schiefertafel. Dies war korrekt. Nur, wie kam er so schnell auf das Ergebnis? Gauß addierte nicht einfach nur die Zahlen in ihrer Reihenfolge hintereinander auf. Stattdessen stellte er sie sich in zwei Reihen vor. Einmal von vorne nach hinten und darunter von hinten nach vorne. Dies sah so aus:
1+2+3+4+....+97+98+99+100100
+99+98+97+....4+3+2+1.
Wenn er nun die übereinanderstehenden Zahlen addierte, also 1+100, 2+99,3+98 und so weiterm ergab dies stets die Zahl 101. Jetzt lag die Lösung auf der Hand. Wenn er einhundert Zahlen addieren sollte, waren das 100*101=10100. Dieses Ergebnis musste er nur noch halbieren, denn er hatte die Zahlenreihe ja zwei Mal verwendet. Die Summe der ersten einhundert Zahlen war somit 5050. Die Gaußsche Summenformel war geboren.
Natürlich war Gauß` Rechnung clever. Aber sie offenbarte noch viel mehr als das. Sie zeigte ein tiefes Verständnis für die inneren Zusammenhänge des Problems und sollte uns als Vorzeigebeispiel für die Denkweise echter Mathematiker dienen. Gauß hatte nicht nur schnell die rictige Lösung gefunden, er hatte damit auch einen Lösungsweg entdeckt, um eine Summe S der ersten n beliebigen Zahlen zu berechnen. Schreiben wir nämlich folgende Formel auf, so ergeben die übereinanderstehenden Zahlen stets n+1:
S= 1+2+3+....+n und darunter S = n
+...+3+2+1
Wir addieren diese Summe n-Mal und teilen sie am Ende durch zwei. So ergibt sich eine allgemeine Formel: S=1/2 *n (n+1). Et voilá: Es wurde eine Formel hergeleitet. In ähnlicher Weise können wir die Summe der ersten n geraden oder ungeraden Zahlen und mit ein paar Tricks die Summe der ersten n Quadratzahlen berechnen.
Mit 19 Jahren lieferte Gauß seinen ersten mathematischen Beweis. Dieser war im Bereich Geometrie: Es ging um ein reguläres 17-Eck. Damit gelang ihm die erste neue geometrische Konstruktion seit dem Altertum. Damals studierte Gauß an der Georg-August-Universität in Göttingen. Die Unterstützung des Braunschweiger Herzogs ermöglicht Gauß, der aus einfachen Verhältnissen kam, diese Ausbildung. Später promoviert Gauß in Helmstedt und mit 30 Jahren beginnt er seine Laufbahn als Wissenschaftler an der Göttinger Uni und wird dort Professor für Mathematik. Zu spätem Ruhm außerhalb der Welt der Wissenschaften war Gauß 1991 posthum das Motiv auf dem Zehn-Mark-Schein.
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Abstand eines Punktes von einer Ebene wird berechnet, indem der Kurzeste Weg zwischen dem Punkt und der Ebene berechnet wird. Ein Punkt kann auf einer Ebene liegen oder nicht. Im Prinzip gibt es nur 2 Lagen von einem Punkt und einer Ebene zueinander. Der Abstand eines Punkts im Raum zu einer Ebene wird in der Regel so ermittelt, dass vom Punkt aus eine Gerade zur Ebene gezogen wird. Diese Gerade muss zum Normalvektor der Ebene Parallel sein, da der Normalvektor immer senkrecht zur Ebene steht und der Abtand auch immer senkrecht sein muss, da eine senkrechte Strecke als Abstand (kürzester Weg) gilt. Anschließend wird die Gerade die Ebene an einer Stelle schneiden. Der Abstand zwischen dem AUsgangspunkt zu dem Schnittpunkt ist der Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene. Daraus resultierend wird eine Formel auch dafür aufgestellt, die für diesen Online-Rechner auch genutzt wurde. Gebe die Pinktkoordinaten und auch die Ebenengleichung in Parameterform an. ax+by+cz=d
X1 +
Y1 +
Z1 =
E1 :
X +
Y +
Z +
= 0
E2 :
X +
Y +
Z +
= 0
x1
| x2
| x3
x4
| X5
| x6
x +
y+
z+
=0
Parameterform
X =
+ r .
+ s .
x1
| y1
| z1
x2
| y2
| z2
x3
| y3
| z3
a
d
b
X
c
ir
x +
= 0
x +
y +
= 0
x +
y +
= 0
Mit dem Ableitungsrechner kannst du sowohl die Ableitung bzw. die Steigung deiner eingegebenen Funktion als auch die Tangentengleichung der Funktion an der eingegebenen Stelle berechnen lassen.
Die Funktion jeder Art kann in das Eingabefeld eingegeben werden. Die Funktionen müssen jedoch wie im Beispiel eingetragen werden. Die Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion an einer Stelle berührt und an diesem Berührungspunkt mit der Funktion gemeinsam ist. Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung bzw. der Ableitung der Funktion an der Berührungsstelle. Gib deine Funktion und die gewünschte Stelle ein und erhalte die Ergebnisse vom Ableitungsrechner in einem Augenblick.
x +
y +
z +
= 0
x +
y +
z +
= 0
x +
y +
z +
= 0
Periodenanzahl=
n =
k =
Mit Integralrechner kann der Integralwert aller Funktionen ausgerechnet werden. Gib deine Funktion wie bei der Beschreibung und dem Beispielsbild ein. Die untere und obere Grenze müssen durch a und b bestimmt werden. Der Integralrechner unseres Online-Rechners liefert das Ergebnis in einem Augenblick. Wenn du den Flächeninhalt unterhalb einer Funktion, eine eingeschloßene Fläche oder die Stammfunktion in einem bestimmten Intervall ermitteln möchtest, nutze unseren Integral-Rechner.
X =
+ r .
X =
+ s .
An welchem Wochentag bin ich geboren? Möchtest du wissen, an welchem Wochentag du geboren bist? Du kannst dein Geburstdatum bei unserem Tagerechner eingeben und das Ergebnis aufrufen. Wenn du wissen möchtest, an welchem Wochentag z.B dein Hochzeitstag, Verlobungsdatum oder ein bestimmtes geschichtliches Ereignis war, kannst du den Tagerechner nutzen.
Mit unserem Wasserrechner erfährst du, wie viel Wasser (reines Wasser) du bisher in deinem Leben getrunken hast. Hierfür musst du vier Daten angeben:
-Geburtsdatum
-heutiges Datum
-Wie oft du in der Regel Wasser trinkst
-Gewicht während der Pubertät
-heutiges Gewicht
Anschließend erhältst du dein Ergebnis in zwei Formaten:
* Getrunkene Wassermenge in Liter
* Das getrunkene Wasservolumen in Form eines würfelförmigen Pools
Anfangsdatum
Mit dem Fibonacci-Rechner kannst du die Fibonacci-Zahlen generieren lassen. Die Eingabe ist dabei "n". Als Ergebnis werden sowohl die n-te Zahl als auch die Division (das Verhältnis) zwischen der Zahl und der vorherigen Zahl angezeigt. Man sieht, dass dieses Verhältnis bei Fibonacci-Zahlen auf ca. 1,618 konvergiert.
Beispiel: Die zweite Fibonacci-Zahl ist 1 und die Dritte ist 2. Wenn die 4. Zahl aufzurufen ist, muss bei dem Eingabefeld die Zahl 4 eingegeben werden. Danach erscheint die 4. Zahl, die aus der Summe von 1 und 2 entsteht. Also 3.
Das Verhältnis dabei ist 3 dividiert durch 2. Also 1,5.
Mit dem Rechner "exponentielles Wachstum" kann man die Wachstums- bzw. Zerfallsaufgaben rechnen lassen. Dafür sind 3 Daten erforderlich.
- Anfangswert (a)
- Wachstumsrate oder Zerfallsrate.
Hinweis: Im Falle eines Zerfalls (Abnahme) ist b kleiner als 1 und bei einer Zunahme (Wachstum) ist diese größer als 1.
- Zeit oder die erreichte Menge nach einer Zeit (t). Also f(t).
Hinweis: Alle 4 Felder dürfen nicht belegt werden. Als Ergebnis erhältst du auch die erste Ableitung der aufgestellten Wachstumsfunktion in Form von f'(x)
Mit dem Rechner "Kurvensiskussion-Rechner" für die Funktionen dritten Grades kann die Funktion eingegeben werden, indem die Faktoren der Funktion als a,b,c und d eingegeben werden. In einem Augenblick werden Nullstellen, Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt), und der Wendepunkt angezeigt. Die Nullstellen einer Funktion 3. Grades kann entweder numerisch oder durch Formeln ermittelt werden. Wenn sogar nur eine Lösung gefunden wird, können die anderen ggf. Lösungen anhand von einer Division der Funktion durch einen Term, der aus der ersten Lösung besteht (x-x1), berechnet werden. Da das Ergebis der oben genannten Division ein quadratischer Term ist, können die nächsten Lösungen anhand von der pq-Formel oder andere bekannte Formel ausgerechnet werden.
Mögliche Eingaben:
1: a, b, c
2: a, b, gamma
3: a, alpha, beta
