2021-02-02 10:16:32

Wie Carl Friedrich Gauß die Mathematik revolutionierte

Für die einen ist die Mathematik ein Buch mit sieben Siegeln. Für die anderen gibt es nichts Logischeres und Spannenderes. Wie mit jeder Wissenschaft ist es auch mit der Mathematik. Auch sie hat ihre Legenden. Eine solche Legende erzählt die Geschichte des jungen Carl Friedrich Gauß, der in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts lebte und noch heute als sogenannter "Fürst der Mathematiker" gerühmt wird. Wie der junge Gauß die Mathematik revolutionierte, erfahrt ihr im folgenden Artikel.

Aus Langeweile entstand eine der großen Weltformeln der Mathematik

Gauß langweilte sich wie viele Schüler während seiner Schulstunden. Aber nicht, weil ihn Mathematik nicht interessierte, sondern, weil die Matheaufgaben im Unterricht viel zu leicht für ihn waren. So dachte sich sein Mathematiklehrer eine Aufgabe aus. Er sollte die Zahlen von 1 bis 100 addieren. So wollte er den Neunjährigen ruhigstellen. Gauß zeigte daraufhin, was in der Mathematik steckte. Er zählte nicht bloß, wie es ihm gesagt wurde, sondern er rechnete. 

Gauß löste die Aufgabe in kürzester Zeit. Nach kurzem Überlegen schrieb er als Lösung die Zahl 5050 auf die Schiefertafel. Dies war korrekt. Nur, wie kam er so schnell auf das Ergebnis? Gauß addierte nicht einfach nur die Zahlen in ihrer Reihenfolge hintereinander auf. Stattdessen stellte er sie sich in zwei Reihen vor. Einmal von vorne nach hinten und darunter von hinten nach vorne. Dies sah so aus:

1+2+3+4+....+97+98+99+100100

+99+98+97+....4+3+2+1.

Wenn er nun die übereinanderstehenden Zahlen addierte, also 1+100, 2+99,3+98 und so weiterm ergab dies stets die Zahl 101. Jetzt lag die Lösung auf der Hand. Wenn er einhundert Zahlen addieren sollte, waren das 100*101=10100. Dieses Ergebnis musste er nur noch halbieren, denn er hatte die Zahlenreihe ja zwei Mal verwendet. Die Summe der ersten einhundert Zahlen war somit 5050. Die Gaußsche Summenformel war geboren.

Natürlich war Gauß` Rechnung clever. Aber sie offenbarte noch viel mehr als das. Sie zeigte ein tiefes Verständnis für die inneren Zusammenhänge des Problems und sollte uns als Vorzeigebeispiel für die Denkweise echter Mathematiker dienen. Gauß hatte nicht nur schnell die rictige Lösung gefunden, er hatte damit auch einen Lösungsweg entdeckt, um eine Summe S der ersten n beliebigen Zahlen zu berechnen. Schreiben wir nämlich folgende Formel auf, so ergeben die übereinanderstehenden Zahlen stets n+1:

S= 1+2+3+....+n und darunter S = n 

+...+3+2+1 

Wir addieren diese Summe n-Mal und teilen sie am Ende durch zwei. So ergibt sich eine allgemeine Formel: S=1/2 *n (n+1). Et voilá: Es wurde eine Formel hergeleitet. In ähnlicher Weise können wir die Summe der ersten n geraden oder ungeraden Zahlen und mit ein paar Tricks die Summe der ersten n Quadratzahlen berechnen. 

Mit 19 Jahren lieferte Gauß seinen ersten mathematischen Beweis. Dieser war im Bereich Geometrie: Es ging um ein reguläres 17-Eck. Damit gelang ihm die erste neue geometrische Konstruktion seit dem Altertum. Damals studierte Gauß an der Georg-August-Universität in Göttingen. Die Unterstützung des Braunschweiger Herzogs ermöglicht Gauß, der aus einfachen Verhältnissen kam, diese Ausbildung. Später promoviert Gauß in Helmstedt und mit 30 Jahren beginnt er seine Laufbahn als Wissenschaftler an der Göttinger Uni und wird dort Professor für Mathematik. Zu spätem Ruhm außerhalb der Welt der Wissenschaften war Gauß 1991 posthum das Motiv auf dem Zehn-Mark-Schein.

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