2021-01-29 14:36:01

Kann die Mathematik alles beweisen ?

Kann die Mathematik alles beweisen? Oder hat auch sie ihre Grenzen? Diese Frage stellen sich vermutlich viele Menschen. Wir gehen der Sache auf den Grund . 

Der Unvollständigkeitssatz veränderte die Mathematik

Möchte man einen Beweis in der Mathematik genauer definieren, kann man sagen, dass es sich bei diesem um eine fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von sogenannten Axiomen (externer Link), die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Man spricht daher auch von axiomatischen Beweisen.

Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel löste 1931 mit seinem “Unvollständigkeitssatz” ein wahres mathematisches Erdbeben aus. Dieses ließ das bis dahin feste Gebäude der Mathematik wie ein Kartenhaus in sich zusammenstürzen. 

Es begann mit dem berühmten deutschen Mathematiker David Hilbert. Dieser erhoffte sich zum einen, dass seine Wissenschaft widerspruchsfrei und zum anderen vollständig sei. Hilbert hoffte, dass es in den wichtigsten mathematischen Theorien unmöglich sei, eine Aussage A und gleichzeitig ihre Gegegnaussage nicht A einwandfrei zu beweisen. Das wäre selbstverständlich fatal. Und in diesem Sinn sollte die Mathematik widerspruchsfrei sein. Auch hoffte Hilbert, dass jede in einer mathematischen Theorie formulierbare Aussage entweder als wahr oder als nicht wahr bewiesen werden könne. In diesem Sinn sollte die Mathematik vollständig sein. Denn wenn die Wahrheit oder Falschheit einer bestimmten Aussage prinzipiell nicht beweisbar, somit entscheidbar wäre, verbliebe sie in einem merkwürdigen Schwebezustand zwischen wahr und falsch. Das wäre ebenfalls fatal. 

Der Mathematiker Gödel zerstörte HIlberts Hoffnungen jedoch. Er erbrachte einen Beweis dafür, dass die Zahlentheorie unvollständig ist, es also prinzipiell unentscheidbare Aussagen in der Zahlentheorie geben muss. Gödels Beweis traf die Mathematiker-Gemeinschaft schwer. Niemand hatte so etwas erwartet. Die Grundidee lautete: Mithilfe eines überaus raffinierten Übersetzungsprozesses, schaffte es Gödel, den alltagssprachlichen Satz “Diese Aussage ist unentscheidbar” in der Sprache der Mathematik zu formulieren. So schuf er eine paradoxe Aussage in der Zahlentheorie, die nicht beweisbar ist. Die Zahlentheorie ist daher unvollständig. 

Möchte man seinen Unvollständigkeitssatz zusammenfassen, dann lässt sich dies wie folgt erklären: Gödel hat er behauptet, dass es mathematische Aussagen gibt, die zwar einerseits richtig sind, bei denen es jedoch unmöglich ist zu beweisen, das diese richtig sind. Die Mathematik ist nicht mächtig genug, um diese unentscheidbaren Sätze zu beweisen. Eine wichtige Aussage, die Gödel dazu noch mathematisch beweisen konnte.

Gödel zeigte, dass, sofern die Zahlentheorie widerspruchsfrei ist, auch diese Aussage nicht mit den Mitteln der Zahlentheorie selbst beweisen werden kann. Heutzutage jedoch steht die Mathematik wieder auf festem Fundament. Sie hat sich damit arrangiert, dass sie unvollständig ist und nicht alles beweisen kann. 

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