Kann die Mathematik alles beweisen ?
Kann die Mathematik alles beweisen? Oder hat auch sie ihre Grenzen? Diese Frage stellen sich vermutlich viele Menschen. Wir gehen der Sache auf den Grund .
Der Unvollständigkeitssatz veränderte die Mathematik
Möchte man einen Beweis in der Mathematik genauer definieren, kann man sagen, dass es sich bei diesem um eine fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von sogenannten Axiomen (externer Link), die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen Aussagen, die bereits bewiesen sind. Man spricht daher auch von axiomatischen Beweisen.
Der österreichische Mathematiker Kurt Gödel löste 1931 mit seinem “Unvollständigkeitssatz” ein wahres mathematisches Erdbeben aus. Dieses ließ das bis dahin feste Gebäude der Mathematik wie ein Kartenhaus in sich zusammenstürzen.
Es begann mit dem berühmten deutschen Mathematiker David Hilbert. Dieser erhoffte sich zum einen, dass seine Wissenschaft widerspruchsfrei und zum anderen vollständig sei. Hilbert hoffte, dass es in den wichtigsten mathematischen Theorien unmöglich sei, eine Aussage A und gleichzeitig ihre Gegegnaussage nicht A einwandfrei zu beweisen. Das wäre selbstverständlich fatal. Und in diesem Sinn sollte die Mathematik widerspruchsfrei sein. Auch hoffte Hilbert, dass jede in einer mathematischen Theorie formulierbare Aussage entweder als wahr oder als nicht wahr bewiesen werden könne. In diesem Sinn sollte die Mathematik vollständig sein. Denn wenn die Wahrheit oder Falschheit einer bestimmten Aussage prinzipiell nicht beweisbar, somit entscheidbar wäre, verbliebe sie in einem merkwürdigen Schwebezustand zwischen wahr und falsch. Das wäre ebenfalls fatal.
Der Mathematiker Gödel zerstörte HIlberts Hoffnungen jedoch. Er erbrachte einen Beweis dafür, dass die Zahlentheorie unvollständig ist, es also prinzipiell unentscheidbare Aussagen in der Zahlentheorie geben muss. Gödels Beweis traf die Mathematiker-Gemeinschaft schwer. Niemand hatte so etwas erwartet. Die Grundidee lautete: Mithilfe eines überaus raffinierten Übersetzungsprozesses, schaffte es Gödel, den alltagssprachlichen Satz “Diese Aussage ist unentscheidbar” in der Sprache der Mathematik zu formulieren. So schuf er eine paradoxe Aussage in der Zahlentheorie, die nicht beweisbar ist. Die Zahlentheorie ist daher unvollständig.
Möchte man seinen Unvollständigkeitssatz zusammenfassen, dann lässt sich dies wie folgt erklären: Gödel hat er behauptet, dass es mathematische Aussagen gibt, die zwar einerseits richtig sind, bei denen es jedoch unmöglich ist zu beweisen, das diese richtig sind. Die Mathematik ist nicht mächtig genug, um diese unentscheidbaren Sätze zu beweisen. Eine wichtige Aussage, die Gödel dazu noch mathematisch beweisen konnte.
Gödel zeigte, dass, sofern die Zahlentheorie widerspruchsfrei ist, auch diese Aussage nicht mit den Mitteln der Zahlentheorie selbst beweisen werden kann. Heutzutage jedoch steht die Mathematik wieder auf festem Fundament. Sie hat sich damit arrangiert, dass sie unvollständig ist und nicht alles beweisen kann.
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Tags: matheloeser, Online Rechner, Mathematik, matheaufgaben
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Abstand eines Punktes von einer Ebene wird berechnet, indem der Kurzeste Weg zwischen dem Punkt und der Ebene berechnet wird. Ein Punkt kann auf einer Ebene liegen oder nicht. Im Prinzip gibt es nur 2 Lagen von einem Punkt und einer Ebene zueinander. Der Abstand eines Punkts im Raum zu einer Ebene wird in der Regel so ermittelt, dass vom Punkt aus eine Gerade zur Ebene gezogen wird. Diese Gerade muss zum Normalvektor der Ebene Parallel sein, da der Normalvektor immer senkrecht zur Ebene steht und der Abtand auch immer senkrecht sein muss, da eine senkrechte Strecke als Abstand (kürzester Weg) gilt. Anschließend wird die Gerade die Ebene an einer Stelle schneiden. Der Abstand zwischen dem AUsgangspunkt zu dem Schnittpunkt ist der Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene. Daraus resultierend wird eine Formel auch dafür aufgestellt, die für diesen Online-Rechner auch genutzt wurde. Gebe die Pinktkoordinaten und auch die Ebenengleichung in Parameterform an. ax+by+cz=d
X1 +
Y1 +
Z1 =
E1 :
X +
Y +
Z +
= 0
E2 :
X +
Y +
Z +
= 0
x1
| x2
| x3
x4
| X5
| x6
x +
y+
z+
=0
Parameterform
X =
+ r .
+ s .
x1
| y1
| z1
x2
| y2
| z2
x3
| y3
| z3
a
d
b
X
c
ir
x +
= 0
x +
y +
= 0
x +
y +
= 0
Mit dem Ableitungsrechner kannst du sowohl die Ableitung bzw. die Steigung deiner eingegebenen Funktion als auch die Tangentengleichung der Funktion an der eingegebenen Stelle berechnen lassen.
Die Funktion jeder Art kann in das Eingabefeld eingegeben werden. Die Funktionen müssen jedoch wie im Beispiel eingetragen werden. Die Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion an einer Stelle berührt und an diesem Berührungspunkt mit der Funktion gemeinsam ist. Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung bzw. der Ableitung der Funktion an der Berührungsstelle. Gib deine Funktion und die gewünschte Stelle ein und erhalte die Ergebnisse vom Ableitungsrechner in einem Augenblick.
x +
y +
z +
= 0
x +
y +
z +
= 0
x +
y +
z +
= 0
Periodenanzahl=
n =
k =
Mit Integralrechner kann der Integralwert aller Funktionen ausgerechnet werden. Gib deine Funktion wie bei der Beschreibung und dem Beispielsbild ein. Die untere und obere Grenze müssen durch a und b bestimmt werden. Der Integralrechner unseres Online-Rechners liefert das Ergebnis in einem Augenblick. Wenn du den Flächeninhalt unterhalb einer Funktion, eine eingeschloßene Fläche oder die Stammfunktion in einem bestimmten Intervall ermitteln möchtest, nutze unseren Integral-Rechner.
X =
+ r .
X =
+ s .
An welchem Wochentag bin ich geboren? Möchtest du wissen, an welchem Wochentag du geboren bist? Du kannst dein Geburstdatum bei unserem Tagerechner eingeben und das Ergebnis aufrufen. Wenn du wissen möchtest, an welchem Wochentag z.B dein Hochzeitstag, Verlobungsdatum oder ein bestimmtes geschichtliches Ereignis war, kannst du den Tagerechner nutzen.
Mit unserem Wasserrechner erfährst du, wie viel Wasser (reines Wasser) du bisher in deinem Leben getrunken hast. Hierfür musst du vier Daten angeben:
-Geburtsdatum
-heutiges Datum
-Wie oft du in der Regel Wasser trinkst
-Gewicht während der Pubertät
-heutiges Gewicht
Anschließend erhältst du dein Ergebnis in zwei Formaten:
* Getrunkene Wassermenge in Liter
* Das getrunkene Wasservolumen in Form eines würfelförmigen Pools
Anfangsdatum
Mit dem Fibonacci-Rechner kannst du die Fibonacci-Zahlen generieren lassen. Die Eingabe ist dabei "n". Als Ergebnis werden sowohl die n-te Zahl als auch die Division (das Verhältnis) zwischen der Zahl und der vorherigen Zahl angezeigt. Man sieht, dass dieses Verhältnis bei Fibonacci-Zahlen auf ca. 1,618 konvergiert.
Beispiel: Die zweite Fibonacci-Zahl ist 1 und die Dritte ist 2. Wenn die 4. Zahl aufzurufen ist, muss bei dem Eingabefeld die Zahl 4 eingegeben werden. Danach erscheint die 4. Zahl, die aus der Summe von 1 und 2 entsteht. Also 3.
Das Verhältnis dabei ist 3 dividiert durch 2. Also 1,5.
Mit dem Rechner "exponentielles Wachstum" kann man die Wachstums- bzw. Zerfallsaufgaben rechnen lassen. Dafür sind 3 Daten erforderlich.
- Anfangswert (a)
- Wachstumsrate oder Zerfallsrate.
Hinweis: Im Falle eines Zerfalls (Abnahme) ist b kleiner als 1 und bei einer Zunahme (Wachstum) ist diese größer als 1.
- Zeit oder die erreichte Menge nach einer Zeit (t). Also f(t).
Hinweis: Alle 4 Felder dürfen nicht belegt werden. Als Ergebnis erhältst du auch die erste Ableitung der aufgestellten Wachstumsfunktion in Form von f'(x)
Mit dem Rechner "Kurvensiskussion-Rechner" für die Funktionen dritten Grades kann die Funktion eingegeben werden, indem die Faktoren der Funktion als a,b,c und d eingegeben werden. In einem Augenblick werden Nullstellen, Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt), und der Wendepunkt angezeigt. Die Nullstellen einer Funktion 3. Grades kann entweder numerisch oder durch Formeln ermittelt werden. Wenn sogar nur eine Lösung gefunden wird, können die anderen ggf. Lösungen anhand von einer Division der Funktion durch einen Term, der aus der ersten Lösung besteht (x-x1), berechnet werden. Da das Ergebis der oben genannten Division ein quadratischer Term ist, können die nächsten Lösungen anhand von der pq-Formel oder andere bekannte Formel ausgerechnet werden.
Mögliche Eingaben:
1: a, b, c
2: a, b, gamma
3: a, alpha, beta
