Mathe-Lexikon: Analytische Geometrie

Die Analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik. In diesem Gebiet beschäftigt man sich mit der zahlenmäßigen Beschreibung von Eigenschaften geometrischer Figuren. Mit Hilfe eines Koordinatensystems ordnet man jedem Punkt ein Zahlenpaar oder eine Zahlentripel zu. Dadurch werden geometrischen Figuren (Gerade, Ebene, Kreis, Kugel, Parabel, Hyperbel uws.) Mengen von Zahlenpaaren bzw. Zahlentripeln zugeordnet, welche sich in der Regel als Lösungsmengen von zwei- bzw. dreistelligen Aussageformen angeben lassen. Mit Hilfe des Koordinatensystems kann man dann jede geometrische Aussage in eine algebraische Aussage “ übersetzen” und umgekehrt. Einer Konstruktion (beispielsweise Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden) entspricht danne eine Rechnung (z. B. Lösen eines Gleichungssystems). Besonders nützlich sind dabei Vektoren. Die Untersuchung von Vektorräumen ist Gegenstand der linearen Algebra. 

Das Besondere der analytischen Geometrie

Das Besondere an der analytischen Geometrie ist, dass sich damit sehr häufig geometrische Probleme lösen lassen, ohne dass diese veranschaulicht werden müssen. Dazu werden Objekte wie Vektoren, die aus der linearen Algebra stammen verwendet. Daher nennt man die analytische Geometrie auch Vektorgeometrie.

Die analytische Geometrie wird in der Ebene und auch im Raum angewendet. Im Raum nutzt man ein dreidimensionales Koordinatensystem. Die Rechnungen bleiben ähnlich zum zweidimensionalen Koordinatensystem, nur dass es neben den x- und y-Werten auch z-Werte gibt.

Analytische Geometrie und ihre Anwendungsgebiete

Kenntnisse über Vektoren im dreidimensionalen Raum werden bei der klassischen Mechanik in der Physik benötigt. Dies spielt wiederum eine große Rolle in allen ingenieurtechnischen Bereichen. Zum Beispiel ergibt die Ableitung des Ortsvektors den Geschwindigkeitsvektor (externer Link).

Aber auch in anderen Bereichen des Alltags spielt die analytische Geometrie eine entscheidende Rolle: In der Kunst können Vektoren beispielsweise sinnvoll sein, da diese ein Mittel der Raumdarstellung sind.

Auch in Computergrafiken kommen Rechnungen aus der analytischen Geometrie zum Einsatz. Beispielsweise um Räume in Computerspielen realistisch zu simulieren. Auch in der Luftfahrt spielt die analytische Geometrie eine Rolle, zum Beispiel um zu vermeiden, dass Flugzeuge kollidieren, aber auch um beispielsweise den Anflugwinkel zu bestimmen.