Folgen und Reihen - einfach erklärt

Wenn eine Abfolge von Zahlen einer bestimmten Logik folgt, z. B. die geraden Zahlen (2, 4, 6, 8, …) oder die Quadratzahlen (1, 4, 9, 16, …), sprechen wir von einer Folge. Formal ist eine Folge eine Abbildung , die jeder natürlichen Zahl  einen Wert  zuordnet. Statt der Zuordnung  schreibt man für die Folge kurz . Die einzelnen Werte  werden Folgenglieder genannt, die Wertemenge der Folge ist gegeben durch W=an|n∈N . Häufig werden reelle Folgen betrachtet, d. h. Folgen, bei denen die Folgenglieder reelle Zahlen annehmen: . Andere Arten von Folgen sind beispielsweise vektorwertige oder komplexe Folgen.

Konvergenz von Folgen

Bei Folgen interessiert häufig das „Langzeitverhalten“, d. h. das Verhalten der Folgenglieder  für . Wenn eine Folge für  gegen einen bestimmten Grenzwert  läuft, ist die Folge konvergent. Eine vielfach verwendete Schreibweise ist:

Jede Folge kann höchstens einen Grenzwert haben. Hat eine Folge den Grenzwert , so spricht man von einer Nullfolge. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent.

Weitere Eigenschaften von Folgen

Zur Überprüfung der Konvergenz können weitere Eigenschaften hilfreich sein.

Die Beschränktheit gibt an, ob es Zahlen, sog. „Schranken“, gibt, die die Folge für keinen Index über- oder unterschreitet. Eine Folge kann nur dann konvergieren, wenn sie beschränkt ist – die Beschränktheit ist somit ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz.

Die Monotonie einer Folge gibt an, ob ihre Folgenglieder bei einem größer werdenden Index steigen oder fallen. Eine Folge ist monoton steigend, wenn jedes Folgenglied mindestens genauso groß ist, wie der vorherige Wert:

Analog ist eine Folge monoton fallend, wenn jedes Folgenglied höchstens genauso groß ist, wie der vorherige Wert:

Abbildung 1: Beispiele für Folgen mit unterschiedlichem Monotonieverhalten. Blau: monoton steigende Folge; Grün: monoton fallende Folge; Rot: keine Monotonie.

Jede monotone Folge, die beschränkt ist, ist automatisch konvergent. Allerdings gibt es auch Folgen, die keine Monotonie zeigen. Für solche Folgen können andere Konvergenzkriterien herangezogen werden. Häufig wird dann die Konvergenz mit Hilfe anderer Folgen geprüft, deren Konvergenz man kennt – das sog. „Sandwich-Lemmas“ sagt beispielsweise aus, dass eine Folge, die zwischen zwei anderen Folgen liegt, deren Grenzwert identisch ist, auch gegen denselben Grenzwert konvergiert. Ansonsten kann die Konvergenz auch durch geschickte Umformungen, z. B. bei Brüchen, überprüft werden.

Was ist eine Reihe?

Aus einer Folge  kann man eine weitere Folge bilden, bei der die Folgenglieder die -ten Partialsummen  sind. Diese Folge   wird dann Reihe genannt. Oftmals notiert man die Reihe als „unendliche Summe  .

Konvergenz von Reihen

Auch Reihen können hinsichtlich ihrer Konvergenz untersucht werden – es wird also überprüft, ob ein Grenzwert  existiert. Zusätzlich kann man noch die absolute Konvergenz, also die Konvergenz der Reihe  überprüfen.

Notwendig für die Konvergenz einer Reihe ist, dass die Folge  eine Nullfolge ist – dieses Kriterium ist aber nicht hinreichend, da z. B. die sog. harmonische Reihe divergiert. Über andere Kriterien (z. B. das sog. Majoranten- und Minorantenkriterum) wird, ähnlich wie bei Folgen, über einen Vergleich mit anderen Reihen entschieden, ob ein Grenzwert existiert. Hat die Folge  eine bestimmte Darstellung (z. B. Bruch, Potenz mit Exponent , alternierend), können Konvergenzkriterien, wie das Quotienten-, Wurzel- oder Leibniz-Kriterium zur Überprüfung der (absoluten) Konvergenz genutzt werden. Anders als bei Folgen ist jedoch die Bestimmung des expliziten Grenzwertes häufig nicht einfach und nur für Reihen in „bekannter“ Darstellung möglich. Einige bekannte Grenzwerte sind:

Geometrische Reihe:             Exponentialreihe:

Logarithmusreihe:

Schnelle Überprüfung der Konvergenz und Bestimmung der Grenzwerte von Folgen und Reihen mit dem Konvergenz-Rechner

Wenn ihr schnell überprüfen möchtet, ob eure Folge oder Reihe konvergiert, könnt ihr unsere Mathelöser Konvergenz-Rechner nutzen. Möchtet ihr den Konvergenz-Rechner für Folgen benutzen, müsst ihr lediglich die Funktionsvorschrift der Folge eingeben – der Konvergenz-Rechner sagt euch direkt, ob die Folge konvergiert und, im Falle einer Konvergenz, was der Grenzwert ist. Ähnlich ist es mit dem Reihen-Rechner: Hier müsst ihr die Folge eingeben, über welche die Reihe definiert ist. Solltet ihr zudem Interesse an einer ausführlichen Untersuchung des Konvergenzverhaltens einer Folge oder Reihe haben, könnt ihr uns gerne über unseren Service Aufgabe hochladen kontaktieren. Auch könnt ihr uns eine Mail schreiben an info@matheloeser.com.