Die Vorreiter der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ob Schüler oder Studierende: Häufig müssen diese sich mit den Themen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik auseinandersetzen. Für viele ein Buch mit sieben Siegeln. Dabei ist die die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. Stochastik keine Erfindung aus dem 21. Jahrhundert, sondern entstammt aus dem Mittelalter. Wer die Wegbereiter dieser mathematischen DIsziplin waren und wie uns die Wahrscheinlichkeitsrechnung im Alltag nützt, erklären wir im folgenden Beitrag.
Pacal und de Fermat als Vorreiter der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschreibt die Entwicklung eines alten aber zurgleich aktuellen Teilgebiets der Mathematik, das sich mit der mathematischen Analyse von Experimenten mit unbestimmtem Ausgang befasst. Während viele heute noch gebräuchliche Formeln zu simplen Zufallsprozessen sogar schon im ausgehenden Mittelalter bekannt waren, hat sich das heute verwendete axiomatische Fundament der Wahrscheinlichkeitstheorie erst zu Beginn des 20. Jahrhunderts herausgebildet. Als Geburtsstunde der klassichen Wahrscheinlichkeitstheorie gilt unter anderem ein Briefwechsel zwischen den Mathematikern Blaise Pascal und Pierre de Fermat (externer Link zu einem PDF-Dokument) im Jahr 1654. Pascal war von einem spielfreudigen Adeligen beauftragt worden, ein kniffliges Problem zu lösen. Dieses lautete: Wenn bei einem Spiel derjenige gewinnt, der zuerst drei Punkte erzielt, wie soll der Einsatz bei einem vorzeitigen Spielabbruch aufgeteilt werden?
Weil Pascal nicht weiterkam, fing er einen Briefwechsel mit seinem Kollegen de Fermat an. Die beiden suchten gemeinsam nach einer Lösung, und zwar für einen Abbruch beim Spielstand von 2:1. Intuitiv könnte man vermuten, dass im Verhältnis 2:1 geteilt werden sollte. Die beiden Mathematiker fanden jedoch heraus, dass der führende Spieler drei Viertel des Gewinns erhalten sollte. Sie kamen darauf, die zukünftigen Gewinnwahrscheinlichkeiten zu berechnen, statt nur die vorherigen Ergebnisse zu berücksichtigen. Damit legten sie den Grundtsein für die Wahrscheinlichkeitsrechnung, mit der wir nun Prognosen für Wirtschaftstrends oder Wahlergebnisse erstellen können.
Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Satz von Bayes
Eine weitere nützliche Entdeckung war der Satz von Bayes. Benannt ist dieser nach Thomas Bayes, einem englischen Mathematiker und Philisophen, der im 18. Jahrhundert lebte. Dank ihm kann man einige Wahrscheinlichkeiten berechnen, in dem man sich einfach die Wahrscheinlichkeit des Gegenteils anschaut. Angenommen, jemand in einem bestimmten Umfeld bekommt eine positive Krebsdiagnose. Da Tests falschliegen können, möchte man herausfinden, wie hoch die Chancen srehen, dass die Diagnose wirklich zutreffend und richtig ist. Dabei kann Bayes' Formel helfen. Man weiß bereits, mit welcher Zuverlässigkeit der Test eine Krebserkrankung erkennt, wenn jemand betroffen ist. Daher nimmt man nun diese bekannte Wahrscheinlichkeit und multipliziert diese mit der Häufigkeit von Krebskrankheiten in der Bevölkerung. Anschließend teilt man das Ergebnis durch die Häufigkeit mit der der Test positiv ausfällt. Nun weiß man, mit welcher Wahrscheinlichkeit es sich tatsächlich um eine Krebserkrankung handelt.
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung im Alltag
Statistiken sind sinnvoll, allerdings anfällig für Verzerrungen. Dies verdeutlicht ein Beispiel: Zwischen 1999 und 2009 war die Anzahl der Ertrunkenen in Schwimmbädern iimmer dann auffällig hoch, wenn Nicolas Cage in besonders vielen Filmen mitspielte. Hatte Cage also Jahr für Jahr einen Einflus darauf, wie viele Menschen schwimmend ums Leben kamen? Dies ist naturülich nicht wahr. Es existiert eine natürliche Korrelation, aber ohne kausalen Zusammenhang. Deshalb ist ein Grundverständnis von Statistik sehr wichtig, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. Dass es lohnenswert ist, sich mit dem Thema Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu befassen, zeigen uns Beispiele aus dem Alltag. Denn über die Anwendungen beim Glücksspiel (Lotto, Würfelwurf, Münzwurf) bis hin zur Arbeitswelt wie der Versicherungs- Wirtschaftsmathematik und vor allem in der Medizin und Forschung, ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung in vielen Bereichen präsent.
Du hast Schwierigkeiten mit dem Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stochastik und Statistik? Dann schreibe uns eine Mail an: info@matheloeser.com und vereinbare einen individuellen Termin für eine Nachhilfestunde. Alternativ sende uns deine Matheaufgaben zu und erhalte die Lösungen mit ausführlichem Rechenweg zu deinem Wunschtermin. Mathelöser verfügt über einen Pool aus 7 Matheprofis, die dich bei deinen Matheaufgaben unterstützen können. Du benötigst die Lösungen in der nächsten Minute? Kein Problem, nutze einfach unsere kostenfreien Online-Rechner auf der Startseite von Mathelöeser oder unter diesem Beitrag.
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Abstand eines Punktes von einer Ebene wird berechnet, indem der Kurzeste Weg zwischen dem Punkt und der Ebene berechnet wird. Ein Punkt kann auf einer Ebene liegen oder nicht. Im Prinzip gibt es nur 2 Lagen von einem Punkt und einer Ebene zueinander. Der Abstand eines Punkts im Raum zu einer Ebene wird in der Regel so ermittelt, dass vom Punkt aus eine Gerade zur Ebene gezogen wird. Diese Gerade muss zum Normalvektor der Ebene Parallel sein, da der Normalvektor immer senkrecht zur Ebene steht und der Abtand auch immer senkrecht sein muss, da eine senkrechte Strecke als Abstand (kürzester Weg) gilt. Anschließend wird die Gerade die Ebene an einer Stelle schneiden. Der Abstand zwischen dem AUsgangspunkt zu dem Schnittpunkt ist der Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene. Daraus resultierend wird eine Formel auch dafür aufgestellt, die für diesen Online-Rechner auch genutzt wurde. Gebe die Pinktkoordinaten und auch die Ebenengleichung in Parameterform an. ax+by+cz=d
X1 +
Y1 +
Z1 =
E1 :
X +
Y +
Z +
= 0
E2 :
X +
Y +
Z +
= 0
x1
| x2
| x3
x4
| X5
| x6
x +
y+
z+
=0
Parameterform
X =
+ r .
+ s .
x1
| y1
| z1
x2
| y2
| z2
x3
| y3
| z3
a
d
b
X
c
ir
x +
= 0
x +
y +
= 0
x +
y +
= 0
Mit dem Ableitungsrechner kannst du sowohl die Ableitung bzw. die Steigung deiner eingegebenen Funktion als auch die Tangentengleichung der Funktion an der eingegebenen Stelle berechnen lassen.
Die Funktion jeder Art kann in das Eingabefeld eingegeben werden. Die Funktionen müssen jedoch wie im Beispiel eingetragen werden. Die Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion an einer Stelle berührt und an diesem Berührungspunkt mit der Funktion gemeinsam ist. Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung bzw. der Ableitung der Funktion an der Berührungsstelle. Gib deine Funktion und die gewünschte Stelle ein und erhalte die Ergebnisse vom Ableitungsrechner in einem Augenblick.
x +
y +
z +
= 0
x +
y +
z +
= 0
x +
y +
z +
= 0
Periodenanzahl=
n =
k =
Mit Integralrechner kann der Integralwert aller Funktionen ausgerechnet werden. Gib deine Funktion wie bei der Beschreibung und dem Beispielsbild ein. Die untere und obere Grenze müssen durch a und b bestimmt werden. Der Integralrechner unseres Online-Rechners liefert das Ergebnis in einem Augenblick. Wenn du den Flächeninhalt unterhalb einer Funktion, eine eingeschloßene Fläche oder die Stammfunktion in einem bestimmten Intervall ermitteln möchtest, nutze unseren Integral-Rechner.
X =
+ r .
X =
+ s .
An welchem Wochentag bin ich geboren? Möchtest du wissen, an welchem Wochentag du geboren bist? Du kannst dein Geburstdatum bei unserem Tagerechner eingeben und das Ergebnis aufrufen. Wenn du wissen möchtest, an welchem Wochentag z.B dein Hochzeitstag, Verlobungsdatum oder ein bestimmtes geschichtliches Ereignis war, kannst du den Tagerechner nutzen.
Mit unserem Wasserrechner erfährst du, wie viel Wasser (reines Wasser) du bisher in deinem Leben getrunken hast. Hierfür musst du vier Daten angeben:
-Geburtsdatum
-heutiges Datum
-Wie oft du in der Regel Wasser trinkst
-Gewicht während der Pubertät
-heutiges Gewicht
Anschließend erhältst du dein Ergebnis in zwei Formaten:
* Getrunkene Wassermenge in Liter
* Das getrunkene Wasservolumen in Form eines würfelförmigen Pools
Anfangsdatum
Mit dem Fibonacci-Rechner kannst du die Fibonacci-Zahlen generieren lassen. Die Eingabe ist dabei "n". Als Ergebnis werden sowohl die n-te Zahl als auch die Division (das Verhältnis) zwischen der Zahl und der vorherigen Zahl angezeigt. Man sieht, dass dieses Verhältnis bei Fibonacci-Zahlen auf ca. 1,618 konvergiert.
Beispiel: Die zweite Fibonacci-Zahl ist 1 und die Dritte ist 2. Wenn die 4. Zahl aufzurufen ist, muss bei dem Eingabefeld die Zahl 4 eingegeben werden. Danach erscheint die 4. Zahl, die aus der Summe von 1 und 2 entsteht. Also 3.
Das Verhältnis dabei ist 3 dividiert durch 2. Also 1,5.
Mit dem Rechner "exponentielles Wachstum" kann man die Wachstums- bzw. Zerfallsaufgaben rechnen lassen. Dafür sind 3 Daten erforderlich.
- Anfangswert (a)
- Wachstumsrate oder Zerfallsrate.
Hinweis: Im Falle eines Zerfalls (Abnahme) ist b kleiner als 1 und bei einer Zunahme (Wachstum) ist diese größer als 1.
- Zeit oder die erreichte Menge nach einer Zeit (t). Also f(t).
Hinweis: Alle 4 Felder dürfen nicht belegt werden. Als Ergebnis erhältst du auch die erste Ableitung der aufgestellten Wachstumsfunktion in Form von f'(x)
Mit dem Rechner "Kurvensiskussion-Rechner" für die Funktionen dritten Grades kann die Funktion eingegeben werden, indem die Faktoren der Funktion als a,b,c und d eingegeben werden. In einem Augenblick werden Nullstellen, Extrempunkte (Hochpunkt und Tiefpunkt), und der Wendepunkt angezeigt. Die Nullstellen einer Funktion 3. Grades kann entweder numerisch oder durch Formeln ermittelt werden. Wenn sogar nur eine Lösung gefunden wird, können die anderen ggf. Lösungen anhand von einer Division der Funktion durch einen Term, der aus der ersten Lösung besteht (x-x1), berechnet werden. Da das Ergebis der oben genannten Division ein quadratischer Term ist, können die nächsten Lösungen anhand von der pq-Formel oder andere bekannte Formel ausgerechnet werden.
Mögliche Eingaben:
1: a, b, c
2: a, b, gamma
3: a, alpha, beta
