2021-01-02 20:20:46

Was es mit den Extrempunkten bei einer Kurvendiskussion auf sich hat

Das Thema Kurvendiskussion treibt einigen Schülern Schweißperlen auf die Stirn, da das Thema komplex ist und zudem Vorstellungskraft seitens der Schüler gefragt ist. Ein Teil der Kurvendiskussion ist die Ermittlung der Extrempunkte. Wie diese herausgefunden werden können und warum ein Online-Rechner hierfür sinnvoll ist, zeigen wir im folgenden Artikel. 

Als Kurvendiskussion wird die Untersuchung von Funktionsgraphen mit den Hilfsmitteln der Differentialrechnung (externer Link) bezeichnet. Ziel einer Kurvendiskussion ist es, den Verlauf des Graphen einer Funktion zu untersuchen und zu beschreiben. Es wird z. B. geprüft, wo der Graph die Achsen schneidet, wie sich seine Steigung ändert, wo dieser Hochpunkte oder Tiefpunkte (Extrempunkte) besitzt, das Krümmungsverhalten und damit verbunden eventuelle Wendepunkte sowie Sattelpunkte. 

Im folgenden Text werden zunächst die Extrempunkte behandelt. Unter diesen versteht man die lokalen Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion. Jedoch muss eine Funktion ihre höchsten und tiefsten Funktionswerte aber nicht immer in einem Extrempunkt annehmen. Ein Hochpunkt muss nicht der höchste Funktionswert sein, sondern nur lokal der höchste. Das bedeutet, dass es in einer kleinen Umgebung des Punktes keinen höheren Punkt gibt.

Wie man Extrempunkte findet

Ein Hochpunkt ist wie die Spitze eines Berges, an der der Bergsteiger nicht runterrutscht, da dort die Steigung gleich 0 ist. Genau dies gilt in einem Tal. Da dort auch die Steigung gleich 0 ist. Die Steigung entspricht der ersten Ableitung. Um die Extremstellen zu ermitteln wird daher die erste Ableitung der zugehörigen Funktion aufgestellt und gleich 0 gesetzt (Notwendige Bedingung: 

f’(x)=0). Durch das Lösen dieser Gleichung gewinnt man die möglichen Extremstellen. Um sicher zu gehen, ob die ermittelten stellen tatsächlich Hoch- und/oder Tiefpunkte sind, wird die hinreichende Bedingung geprüft. Dies lautet wie folgt: f’’(x) > 0 –> Tiefpunkt, f’’(x) < 0 –> Hochpunkt. Für die Prüfung wird zunächst die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion aufgestellt. Im zweiten Schritt werden die ermittelten möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung eingesetzt, wenn das Ergebnis ungleich 0 ist, handelt es sich um eine Extremstelle. Um zu bestimmen, ob diese ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, genügt es zu wissen, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Ein positives Ergebnis entspricht einem Tiefpunkt und ein negatives Ergebnis entspricht einem Hochpunkt.

Du hast Fragen zum Text? Dann schreibe uns eine Mail an info@matheloeser.com. Möchtest du deine Aufgaben zum Thema Kurvendiskussion lösen lassen? Dann nutze unseren praktischen Online-Rechner Kurvendiskussion. Diesen findest du auf unserer Startseite oder unter dem Beitrag. 

 

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