2021-01-10 22:39:33

Gleichungen dritten Grades - Eine Herausforderung für Mathematiker

Eine Gleichung dritten Grades (kubische Gleichung) ist eine Gleichung, die eine Variable besitzt während der maximale Exponent dieser Variable drei ist. Diese zu lösen ist eine besondere Herausforderung. Bereits die frühen Mathematiker im alten Persien beschäftigten sich mit solchen Gleichungen. Was genau sich hinter einer Gleichung dritten Grades verbirgt und welche Lösungsansätze es gibt, haben wir für euch zusammengetragen.

Gleichung dritten Grades: Frühe Perser entwickelten erste Methoden

Eine Gleichung dritten Grades war seit jeher eine Herausforderung für viele Mathematiker, da diese Aufgaben sehr komplex waren. Mathematiker auf der ganzen Welt versuchten mit ihrem ganzen mathematischen Wissen Methoden zum Lösen kubischer Gleichungen zu finden. Dazu stellten Mathematiker vom alten China bis Griechenland verschiedene Formeln auf. 

Die ersten Ansätze stammen aus dem 11. Jahrhundert. Einer der ersten, die sich mit dem Thema kubische Gleichungen beschäftigte war der persischen Mathematiker, Astronom, Philosoph und Dichter Omar Khayyam (1048–1131). Er konnte signifikante Prozesse in der Theorie von kubischen Gleichungen aufstellen. Und entdeckte, dass solche Gleichungen mehr als ein Ergebnis haben können. Dafür fand er einen geometrischen Lösungsansatz. Am Ende seiner Forschungen hatte er eine vollständige Klassifizierung zum Lösen der kubischen gleichungen verfasst. 

Im 12. Jahrhundert stellte der persische Theologe, Mathematiker, Astronom, Philosoph und Forscher Abū Dschaʿfar Muhammad ibn Muhammad Nasīr ad-Dīn at-Tūsī eine Methode auf, die zweite Teile beinhaltete. Zum einen wurden die Ergebnisse numerisch gelöst, zum anderen gab es zwei Typen von Ergebnissen (positive und negative Ergebnis-Gruppen). Diese Methode wurde von dem englischen Mathematiker William George Horner (1786-1837) weiterentwickelt. Sodass, das Verfahren heute noch unter der Horner-Methode benannt ist.

Auch Fibonacci beschäftigte sich später mit der näherungsweisen Lösung von Gleichungen dritten Grades. (Service-Tipp: Nutze unseren kostenfreien Fibonacci-Rechner auf Mathelöser und lasse Fibonacci-Zahlen generieren.)

Im 16 Jahrhundert entwickelte der italienische Mathematiker Scipione Del Ferro eine weitere Methode, um kubische Gleichungen zu lösen. Mehrere italienische Mathematiker ergänzten diese Theorie. Später entstanden die sogenannten cardanischen Formeln, um die Nullstellen eines gegebenen kubischen Polynoms berechnet. Die Formeln wurden, zusammen mit Lösungsformeln für quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Grades), erstmals 1545 von dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veröffentlicht. 

Die cardanischen Formeln besitzen heute für eine rein numerische, d. h. angenäherte Lösung kubischer Gleichungen kaum noch eine praktische Bedeutung, da sich die Lösungen näherungsweise einfacher durch das Newton-Verfahren anhand elektronischer Rechner bestimmen lassen. Die cardanischen Formeln sind dagegen für eine exakte Berechnung der Lösungen in Radialen von erheblicher Bedeutung. 

Heutzutage werden selbst Schüler mit diesem Thema vertraut gemacht. Bereits in der 11. Klasse versucht man Gleichungen dritten Grades durch z. B. Faktorisierung, Ausklammern, den binomischen Formeln oder durch das Proben mehrerer Zahlen (numerisch) zu lösen.  

Und so sieht eine Gleichung dritten Grades z. B. aus: -5x³-5=4x

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