Eine kurze Übersicht über das Thema Unendlichkeit in der Mathematik

Die Unendlichkeit ist eines der mysteriöstesten Konzepte – sowohl in der Mathematik als auch allgemein im menschlichen Vorstellungsvermögen. Der Gedanke an die Unendlichkeit scheint unser Gehirn zu überfordern. Ein berühmtes Beispiel zum Thema Unendlichkeit in der Mathematik stammt von dem Mathematiker David Hilbert. Mit seinem Paradoxon bzw. Gedankenexperiment Hilberts Hotel wollte er den Unendlichkeitsbegriff in der Mathematik veranschaulichen.

Dieses lautet: „In einem Hotel mit endlich vielen Zimmern, also einem üblichen Hotel, kann es passieren, dass alle Zimmer belegt sind. Für einen dann noch eintreffenden Gast gibt es kein Unterkommen mehr. Ganz anders im Unendlichen. Stellen wir uns ein Hotel, eben „Hilberts Hotel“ vor, das unendlich viele Zimmer besitzt. Diese tragen die Nummern 1,2,3… Jedes dieser Zimmer ist mit einem Gast belegt. Nun kommt ein neuer Gast und begehrt Einlass. „Kein Problem“, sagt der Mann an der Rezeption, „nur einen Augenblick.“ Er bittet den Gast aus Zimmer 1, in Zimmer 2 zu gehen, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 , den aus Zimmer 4 in Zimmer 5, usw. Schließlich hat jeder Gast ein Zimmer, und das erste Zimmer ist frei, hier kann nun der neue Gast einziehen. Mathematisch kurz könnte man dieses Phänomen durch die Gleichung ∞+1=∞ ausdrücken. Klar, dass mit derselben Methode auch noch ein weiterer Gast unterzubringen ist, ja jede endliche Menge von neuen Gästen. Also gilt auch ∞+2=∞, ∞+3=∞ usw. Nun stehen aber (unglaublich, aber wahr)! unendlich viele Gäste vor der Tür. Auch hier hat der Mann an der Rezeption eine Idee: Er bittet den Gast aus Zimmer 1, in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 4, den aus Zimmer 3 in Zimmer 6, usw; dann sind nur die Zimmer mit gerader Nummer belegt – und die unendlich vielen Neuankömmlinge können die Zimmer mit den ungeraden Nummern beziehen. Dies zeigt ∞+∞=∞.“

Mit diesem Beispieln von Hilbert lässt sich zeigen, dass die Mengen der natürlichen Zahlen, der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen gleichmächtig sind.

Die Eins-zu-eins-Korrespondenz der beiden Zahlengruppen 

Nehmen wir z. B. die unendlich langen Zahl 0,99999….. Diese kommt der Zahl 1 so nahe, dass sie tatsächlich 1 ist. Jeder Mensch würde die 0,99999… als eine der 1 äußerst naheliegenden Zahl begreifen. Aber so merkwürdig es klingt: 0,99999… =1.

Warum ist das so? Nehmen wir die Zahl 0,99999….w. Es gilt also w= 0,99999….. Multiplizieren wir w mit 10, entspricht das 10w = 9,99999…. Wenn wir jetzt die erste Gleichung von der zweiten abziehen, erhalten wir 9w =9.0000…. Und dies bedeutet: w=1.

Aus einem anderen Blickwinkel erscheint dies nach wie vor sinnvoll: Damit zwei Zahlen unterschiedlcih sind, muss eine andere Zahl zwischen ihnen liegen. Da sich w aber unendlich an 1 annähert, liegt keine Zahl dazwischen. Beide zahlen sind also gleich.

Hinzu kommt ein allem Anschein nach verrückter Gedanke, der vor dem Hintergrund der Unendlichkeit jedoch schlüssig ist. Es gibt unendlich viele positive ganze Zahlen, wobei jede zweite eine gerade Zahl ist. Daraus leiten wir den Schluss ab, dass es weniger gerade ganze Zahlen gibt als ganze Zahlen insgesamt -  ungefähr halb so viele.

In Wirklichkeit gibt es aber von beiden Zahlen exakt gleich viele: nämlich unendlich viele. Mathematiker erklären dies gerne mit einer Eins-zu-eins-Korrespondenz der beiden Zahlengruppen. Dazu ordnen sie jeder Zahl aus Gruppe 1 eine Zahl aus Gruppe 2 zu:

1 --> 2

2 --> 4

3 --> 6

4 --> 8

Diese Reihe kann bis ins Undendliche fortgesetzt werden, ohne dass die geraden Zahlen ausgehen.

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