2020-12-07 17:17:27

Corona-Virus und Mathe: Welche Bedeutung hat das exponentielle Wachstum?

Durch die Corona-Pandemie gerät der Begriff “exponentielles Wachstum” in den Fokus, wenn über die Geschwindigkeit der Virus-Verbreitung gesprochen wird. Fast täglich hören und lesen wir diesen mathematischen Begriff in den Nachrichten. Was es jedoch genau mit diesem auf sich hat, erklären wir euch im folgenden Text. 

Das exponentielle Wachstum ist für das menschliche Gehirn eine Herausforderung

„Die größte Unzulänglichkeit der menschlichen Spezies ist ihre Unfähigkeit, die Exponentialfunktion zu verstehen“. Dies wusste schon der amerikanische Physiker Albert Allen Bartlett (1923–2013), der sich an der University of Colorado insbesondere mit dem Wachstum der Weltbevölkerung beschäftigte. Das menschliche Gehirn ist nicht dafür gemacht, die Dynamik exponentieller Vorgänge zu erfassen. Diese lässt sich letztlich nur mit den Möglichkeiten der Mathematik beschreiben.

Das Thema Exponentialfunktionen gehört zum Stoff der Klassen 10 bzw. 11 am Gymnasium. Schüler sollten diesen gut beherrschen, da es nicht nur eine wesentliche Grundlage im Mathe-Unterricht ist, sondern auch Bestandteil in unserem Alltag, unserer Natur und der Wissenschaft. Durch die weltweite Pandemie erhält das Thema nun vermehrt Aufmerksamkeit. 

Möchte man exponentielles Wachstum (externer Link) genauer erklären, kann man sagen, dass sich bei dieser Wachstumsart eine Größe in jeweils gleichen Zeitschritten um einen festen Faktor vervielfacht. Die Wachstumsrate ist demnach proportional zum jeweils aktuellen Bestandswert. Das, was diese Veränderung im Verlauf beschreibt, ist die Exponentialfunktion. Stellt man sich ein Achsenkreuz vor, sieht man bei einem geringen Startwert zunächst einen sehr flachen Anstieg, welcher aber mit zunehmender Zeit immer steiler wird.

Durch exponentielles Wachstum: nach 33 Wochen könnte gesamte Weltbevölkerung am Virus erkranken

Ein gutes Beispiel, um sich das exponentielle Wachstum vor Augen zu führen ist der Zinseszins (externer Link zu einem PDF-Dokument). Bei einem Sparkonto werden Zinsen auf das angelegte Geld ausgezahlt. Der anfängliche Geldbetrag wird verzinst, und im Weiteren werden die Zinsen dann jeweils mitverzinst. Die Veränderung ist jeweils proportional zum aktuellen Kapital. 

Auf das Corona-Virus bezogen bedeutet dies, dass eine infizierte Person bei einer angenommenen wöchentlichen Verdopplung der Erkrankten-Anzahl nach zehn Wochen insgesamt rund 1.000 weitere angesteckt hätte. Nach insgesamt 18 Wochen würde die Zahl der Infizierten bei ca. 260.000 liegen. Nach weiteren 15 Wochen wäre die gesamte Weltbevölkerung von rund 7,8 Milliarden Menschen am Virus erkrankt. Allerdings ist bei einer solchen Rechnung zu beachten, dass hierbei die menschlichen Reaktionen auf das Virus sowie die getroffenen Maßnahmen mitberücksichtigt werden. Vielen Menschen fällt es jedoch schwer, diese Wachstumsart realistisch einzuschätzen. Dies liegt nicht zuletzt daran, dass der Anstieg sehr langsam bzw. mit einem geringen Wert beginnt und viele sich nicht vorstellen können, dass es ein besonders schnelles Wachstum gibt, sobald ein gewisser Schwellenwert überschritten wird. 

Was es mit dem Reproduktionswert auf sich hat

Das Ziel, um die Corona-Pandemie zu beenden ist es, den sogenannten Reproduktionswert R unter den Wert von 1 zu bekommen. Dieser Wert zeigt, wie viele Menschen ein Infizierter ansteckt. Ist R größer als 1, steckt ein Erkrankter mehr als einen weiteren Menschen an. In diesem Fall wächst die Gesamtzahl der Infizierten exponentiell – und zwar umso schneller, je größer der R-Wert ist. Ist R = 1, bleibt die Zahl der Infizierten gleich. In der Praxis bedeutet dies, dass im Idealfall und wenn R bereits eine Weile konstant bei 1 lag - etwa genauso viele Patienten beispielsweise die Intensivstationen verlassen, wie neue Patienten dort einen Platz benötigen. Wenn dieser unter 1 bleibt, fällt die Kurve. Hier spricht man dann von einer exponentiellen Abnahme oder einem exponentiellen Zerfall. 

Du hast noch Fragen zum Thema “exponentielles Wachstum”? Dann schreibe uns gerne eine E-Mail an: info@matheloeser.com

Oder nutze den passenden kostenfreien Online-Rechner auf der Startseite oder unter diesem Beitrag. Mit diesem kannst du Aufagen zum Thema exponentielles Wachstum bzw. exponentieller Zerfall online berechnen lassen. Dabei brauchst du nur den Anfangswert, die Wachstumsrate und eine von den beiden Variablen Zeit und Funktionsbetrag eingeben, um den fehlenden Parameter so wie die Verdopplungszeit als auch die Umstellungsstellung der Funktion mit e und deren Ableitung berechnen zu lassen. 

Nutze unsere kostenfreien Online-Rechner

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