Analytische Geometrie: Flächeninhalt berechnen leicht gemacht

Der Flächeninhalt bezeichnet das Maß für die Größe einer bestimmten Fläche. Bereits in der Unterstufe von Gymnasien wird gelehrt, wie der Flächeninhalt von bestimmten geometrischen Figuren anhand von bekannten Formeln ermitteln wird. In der Oberstufe folgt dann die Flächeninhalt-Bestimmung in einem dreidimensionalen Koordinatensystem im Bereich der Analytischen Geometrie. Beide Versionen stellen wir im folgenden Artikel vor. 

Als Fläche wird ein zweidimensionales Gebilde bezeichnet, in dem man sich in zwei unabhängige Richtungen bewegen kann. Dazu gehören geometrische Figuren wie z. B. Rechtecke, Polygone, Kreise, aber auch Begrenzungsflächen dreidimensionaler Körper wie Quader, Kugel, Zylinder usw. 

Flächeninhalt berechnen: Quadrat und Dreieck

Quadrat:

Beginnen wir mit der Fläche (Flächeninhalt) von einem Quadrat. Bei einem Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Diese vier Seiten bezeichnen wir daher jeweils mit a. Der Flächeninhalt von einem Quadrat (A) läst sich daher mit folgender Formel berechnen: A=a²

Dreieck:

Bei der Fläche von einem Dreieck unterscheidet man zwei Fälle: Ein Dreieck mit einem rechten Winkel und ein Dreieck ohne rechten Winkel. Möchte man den Flächeninhalt von einem Dreieck mit rechtem Winkel berechnen, muss folgende Formel verwendet werden: A =1/2⋅a⋅b

Bei einem beliebigen Dreieck sieht dies jedoch anders aus. Hier nehmen wir an, dass z. B. die Grundseite als c bezeichnet wird. Auf dieser Grundseite steht die Höhe h bzw.  die Höhe hc,. Diese steht im rechten Winkel auf c. Mit der Grundseite c und der Höhe hc kann man die Fläche des Dreiecks mit der Formel A =1/2⋅c⋅hc berechnen.

Flächeinhalt von Kreis und Trapez berechnen

Als nächstes wird die Fläche von Kreis und Trapez ermittelt. 

Kreis:

Zunächst schauen wir uns einen Kreis an. Dieser hat einen Radius, welcher von der Mitte des Kreises bis zur Begrenzung vom Kreis reicht. Der Durchmesser verläuft einmal von der einen Seite durch die Mitte vom Kreis bis zur anderen Seite und ist doppelt so groß wie der Radius. 

Den Flächeninhalt von einem Kreis berechnet man mit: A=π⋅r². 

Trapez: 

Die Summe von zueinenader parallel liegenden Seiten multipliziert mit der Höhe des Trapezes, die senkrecht zu den parallelen Seiten steht. Das Ergebnis daraus wird durch zwei geteilt. A= (a+b) * h/2

Wie man den Flächeninhalt für Figuren in einem dreidimensionalen Koordinatensystem bestimmt

Während wir im ersten Teil die Formeln für die Berechnung der Flächeninhalte für bekannte geometrische Figuren kennengelernt haben, stellen wir nun die Flächeninhaltberechnung der Dreiecken und Vierecken in einem dreidimensionalen Koordinatensystem vor. Dies gehört zum Thema der analytischen Geometrie und ist weitaus herausfordernder. 

Um den Flächeninhalt von Figuren in einem dreidimensionalen Koordinatensystem zu berechnen, benötigt man drei Punkte der Figuren oder zwei nebeneinanderliegende Seiten. Anhand dieser drei bestimmten Punkte lassen sich zwei Vektoren aufstellen. Aus dem Betrag des Kreuzproduktes dieser beiden Vektoren resultiert der Flächeninhalt des Vierecks und im Falle eines Dreiecks wird das Ergebnis durch zwei geteilt. 

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